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Geraden und Ebene. Dringend Hilfe

Frage: Geraden und Ebene. Dringend Hilfe
(20 Antworten)

 
Hallo,

Mein Sohn schreibt Donnerstag eine Klassenarbeit über Geraden und Ebenen und hat dazu ein Übungszettel von seiner Leherin bekommen.
Leider weiß er kaum was und ich weiß selber nicht so viel, da ich kein Abitur habe und nur einen Hauptschulabschluß habe (was damals ja noch gut war ;) ).

Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir zu den Aufgaben die Lösungswege und ergebnisse sagen könntet, sodass ich mich mit meinem Sohn nochmal am Wochenende damit hinsetzen kann.

Danke. :).`

1)
a) Bestimme die Gleichung der Ebene E= ABC mit A (8/0/0), B (11/1/0), C (4/0/1) in einer Parameterdarstellung.

b) Prüfe ob die Punkte P (1/2/3) und R (0/0/5) auf der Ebene liegen.

c) Stelle die Gleichung der Geraden g = (PR) auf und bestimme den Schnittpunkt mit der Ebene. (Durchstoßpunkt durch die Ebene E).

d) Bestimme a so, dass g mit g : x (->, kommt übers x) = Vektor (3/0/7)+Vektor t (a/2/2) ; a entspricht allen rationalen zahlen

1) parallel zu E ist ! 2) E schneidet !


2)

Gegeben sind die Gerade g : x = vektor (4/4/-1) + vektor r (1/2/2); r entspricht allen rationalen zahlen, und die Punkte A (3/2/-3) und B (1/2/-5).

a) Bestimme die Gleichung der Geraden h durch A und B !

b) Zeige, dass g und h sich in einem Punkt S schneiden und bestimme seine Koordinaten.

c) Die Geraden g und h spannen eine Ebene E auf - gib eine Parameterdarstellung dieser Ebene an.

d) Begründe, dass E* : x (mit pfeil drüber) = vektor (0/6/0) + vektor s*(1/0/0)+ vektor t*(0/0/1), die Ebene durch C (0/6/0) darstellt, die zur x1x3 Ebene parallel ist !

e) Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden von E und E* !

f) Zeige, das F (6/0/-1) in E liegt und bestimme für den Punkt D (d/-2/3) d so, dass D von F den Abstand 6 LE hat !
GAST stellte diese Frage am 05.09.2007 - 17:12

 
 Antwort von GAST | 05.09.2007 - 17:30
ich
hab zwar keine peilung - aber ich schreib trotzdem mal was - vllt kommt dein beitrag dann wieder in die top5 - dann sehens mehr....

 
 Antwort von GAST | 05.09.2007 - 17:39
1)a)E:x=A+rAB+sAC=A+r(B-A)+s(C-A)
b)E in Koordinatenform umwandeln und punkte einsetzen
wenn kein widerspruch auftritt liegen die punkt in E, ansonsten liegen sie nicht in E.
c)g:x=P+tPR=P+t(R-P)

allgemeinen geradenpunkt von g in E einsetzen und nach dem perameter t auflösen.
dann t in g einsetzen und den schnittpunkt ausrechnen.
d)1. der richtungsvektor von g muss senrecht zum normalenvektor von E stehen, also muss das skalarprodukt der beiden 0 sein.
2.der richungsvektor von g darf nur nicht senrecht auf dem normalenvektor von E stehen.

2)a)
h:x=A+rAB=A+r(B-A)
b)
die einzelnen komponenten gleichsetzen, also 2+r=...; 4+2r=...;-1+2r=...

dann muss man nach den parametern der geraden auflösen und zeigen, dass kein widerspruch auftritt.
dann kan man z.b. r in g einsetzen und den schnittpunkt S ausrechnen.

c)da g und h sich schneiden bestimmt man E so:
E:x=(4|4|-1)+r(1|2|2)+s(richtunsgevtkro der gerade h)

d)die ebene E* kann z.b. den selben normalenvektor wie die x1-x3 ebene haben, also ist a,b,c festgelegt. fehlt nur noch d.
um d zu bestimmen kann man a,b,c und die koordinaten in E einsetzen und schauen welchen wert d annimt, sodass die gleichung erfüllt ist.
ax+by+cz=d
in x setzt du 0 ein, in y 6 und in z 0.

e)einen variable eliminieren und dann ene von 2 übrig gebliebenen variablen umbennen (nach einem parameter)..dann nach den restlichen variablen auflösen.
E:x=(x|y|z)
suche also x,y und z von der schnittgeraden s.

f)wieder den punkt in E einsetzen und gucken, ob gleichung "aufgeht"..

für den abstand zweier punkt gilt: |FD|=((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)^(1/2)
das muss gleich 6 ergeben


jetzt brauchst du nur die ganzen werte einsetzen..das schaffst du schon.

 
 Antwort von GAST | 05.09.2007 - 17:56
ich gebe mal die lösungen zur kontrolle an:

E:x=(8|0|0)+r(3|1|0)+s(-4|0|1)
E:x=x-3y+4z=8

P und R liegen beide nicht in E.

h:x=(1|2|3)+t(-1|-2|2)
schnitpunkt:~S(0,9230769|1,846154|3,153846)

1.a=-2
2.z.b.a=0

2)h:x=(3|2|-3)+r(-2|0|-2)

S(3|2|-3)

E:x=(4|4|-1)+r(1|2|2)+s(-2|0|-2)

g:x=(4|6|0)+a(1|0|1)

d=2

 
 Antwort von GAST | 05.09.2007 - 18:57
Vielen, vielen Dank !

Ich werde das nun mit meinen Sohn morgen durchgehen und melde mich nochmal, falls noch Fragen bestehen sollten.

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 14:55
b)E in Koordinatenform umwandeln und punkte einsetzen

wie wandel ich E in koordinatenform um ?


c)

allgemeinen geradenpunkt von g in E einsetzen und nach dem perameter t auflösen.

was ist der allgemeine geradenpunkt in dem fall ?



b)
die einzelnen komponenten gleichsetzen, also 2+r=...; 4+2r=...;-1+2r=...

mit was muß ich das denn gleichsetzen 4+2r = .... ?
und wie kommst du auf 2+r =.... ?




wenn du das noch erklären könntest wäre das super lieb :)

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 15:05
zu b)
entweder mit eliminationsverfahren oder (meiner meiunung nach empfehlenswerter) das kreuzpordukt aus den richtungsvektoren bilden, das ist der normalenvektor n(a|b|c). und dann das skalarprdukt von n und dem aufpunkt der ebene E aufstellen, dies wäre d...dann hättest du die ebene in der Form: E:x=ax+by+cz=d

zu c)
der allgemeine geradenpunkt im allgemeinen fall:
gerade g:x=(q|w|e)+r(x|y|z)
dann wäre der allgemeine geradenpunkt P: P(q+xr|w+yr|e+zr)

zu b)
da weiß ich selber nicht wie ich drauf komme

es muss 4+r=...;4+2r=...;-1+2r=...

du musst das mit der anderen gerade h gleichsetzen... (wie bei h der stützvektor bzw. richtungsvektor aussieht weiß ich nicht)

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 15:35
kannst du das mal exemplarisch mit zahlen machen?

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 15:40
wozu? ...und was?

du brauchst doch nur zahlen einzusetzen...mach das mal, poste deine lösung und ich überprüfe sie dann.

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 16:11
genau das ist mein problem welche zahlen muß ich dot einsetzen ?

vor lauter buchstaben q, x, y weiß ich gar nicht mehr was ich machen soll :(.

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 16:13
wie lautet denn deine gerade g?

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 16:37
g : x= (1/2/3) + t (-1/-2/2)

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 17:18
das ist korrekt.

jetzt holst du den allgemeinen geradenpunkt:
hier:(1-t|2-2t|3+2t) und setzt ihn in E ein.

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 17:27
ja genau das verstehe ich nicht, was ist allgemeine geradepunkt ?
das kann doch nicht (1-t|2-2t|3+2t) sein und das dann in E einsetzen.

zu 2 b) nochmal

ich habe g und h gleichgesetzt

4 + r = 3- 2s
4+2r=2
-1+2r=-3-2s

dann ist r = -2

das bringt mir abe nix für S , wo du (3/2/-3) rausbekommen hast, wie komm ich da weiter?

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 17:31
"das kann doch nicht (1-t|2-2t|3+2t) sein"

doch. streng genommen müsste man noch für alle t aus R schreiben.

"4 + r = 3- 2s
4+2r=2
-1+2r=-3-2s

dann ist r = -2"

das sehe ich nicht so. r ist nicht -2, sondern -1...wenn du -1 in g für r einsetzt kommt auch S(3|2|-3) raus.

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 18:26
aso mein rechenfehler

sry, aber ich werd das mit diesen geradepunkt nicht schlau raus, danke aber für dein bemühen...

was mir jetzt eiglt nur noch unklae ist, wie man von der parameterform zur normalform kommt

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 18:33
"sry, aber ich werd das mit diesen geradepunkt nicht schlau raus, danke aber für dein bemühen..."
der allgemeine geradenpunkt ist irgendein punkt auf der gerade.

"was mir jetzt eiglt nur noch unklae ist, wie man von der parameterform zur normalform kommt"

kreuzprodukt von den beiden richtungsvektoren der ebene bilden. (ergebnis:normalenvektor)....und als aufpunkt aus der parameterform kannst du übernehmen.
die normalenfeorm sieht so aus: (x-p)*n=0

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 19:03
oki kann sein, dass du dich bei 1) d) verrechnet hast ?

Bestimme a so, dass g mit g : x (3/0/7) + t (a/2/2)

1) parallel zu E ist ! 2) E schneidet

bei 1) muß das skalarprodukt 0 ergeben, ich hab da -4,66667 raus
weil 3x-4,66667+0x2+7x2 = -14+14= 0

du meintest da -2

und bei 2) geht ja dann jede zahl, solange dass das skalarprodukt nicht 0 ist

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 19:07
das ist E: E:x=x-3y+4z=8

sind wir uns da einig?

dann würde meine lösung stimmen, denn -2*1+(-3)*2+4*2=0.

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 20:23
ja

boah kacke das wird morgen eine arbeit -_-` , naja bin ja zum teil selbst schuld

kennt ihr irgendwelche seiten die mathe-deutsch übersetzen ?

wer für die klausur vektoren (geraden und ebenen) morgen hilfreich, was ich dann jeweils machen muß bei :


Bestimme die Gleichung der Ebene E = XYZ mit den Punkten....

das ist ja einfach, einfach vektor YZ oder ähnlichen ausrechnen in form bringen

Prüfe ob die Punkte x und y auf der Ebene liegen...

?

Bestimme a, so dass g mit g : x = blabla

parallel zu E ist , identisch mit E ist und e schneidet.

skalarprodukt errechnen ? oder ?


Zeige, dass g und h sich in einem Punkt S schneiden und bestimme seine Koordinaten.

Koordinaten bestimmen einfach die zahlen in g einseiten.

und wie zeigt man dass, sie sich schneiden, gleichsetzen oder ?

 
 Antwort von GAST | 09.09.2007 - 20:27
ich hab dir doch alles schon geschrieben..les dir nochmal meine antwort ein paar mal durch.

"und wie zeigt man dass, sie sich schneiden, gleichsetzen oder ?"

richtig..und es darf kein widerspruch auftreten.


"Prüfe ob die Punkte x und y auf der Ebene liegen.."
punkte in E einsetzen und prüfen, ob die gleichung erfüllt ist.


"skalarprodukt errechnen ? oder ?"
indirekt ja

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