Cauchy

konvergenz folgt direkt aus leibniz-kriterium,
dann einfach produktformel anwenden ... und dann kannst du weiter schauen.

habe ich doch schon?

"Weisen sie die Konvergenzen der Reihe Summenzeichen oben steht unendlich . Unten steht n= 0"
ist klar, da a*(n)=(n+1)^(-1/2) eine monton fallende nullfolge ist. (wens nach mir ginge, bräuchte man das nicht mal zu beweisen)

"Berechnen sie das Cauchyprodukt der Reihe mit sich selbst."

ist nur sture rechnerei. anwenden der formel auf a(n)=b(n)=( -1 )^n*(n+1)^(-1/2), wobei du das in eine möglichst handliche form bringen solltest für die weitere aufgabe.
und wenn du das gemacht hast, können wir weitersehen.

am besten du wirfst mal einen blick ins skirpt, dort steht wie du zwei unendliche reihen summe a(n), summe b(n) zu multiplizieren hast.
dafür solltest du dir summe a(k)b(n-k)=summe a(k)*a(n-k), k=1,...,n anschauen.

habe ich dir grade gesagt: "summe a(k)b(n-k)=summe a(k)*a(n-k), k=1,...,n", dabei ist (a(n)) bekannt.
das ist deine folge mit der du die neue reihe bildest.
tut mir leid, dass es nicht einfacher ist
(im wesentlichen ist es aber auch nur ausmultiplizieren, nur eben auf eine festgelegte art)