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Analytische Geometrie

Frage: Analytische Geometrie
(19 Antworten)


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So leute, ich habe zwei Geraden gegeben. Ich soll nun zeigen, dass die Geraden g und h eine Ebene E aufspannen und geben Sie eine Koordinatengleichung der ebene E an.


Ich hab mir folgendes überlegt:

Richtungsvektoren sind nicht vielfaches => nicht parallel

Also können sie eine Ebene nur dann aufspannen, wenn sie einen Schnittpunkt haben, also g = h

Wenn sie einen haben, spannen sie auch eine ebene auf.

Koordinatenform kann ich durch folgendes bestimmten: Normalenvektor von den Richtungsvektoren der Gerade bilden. Dann Normalenvektor mit einem der Stützvektoren multiplizieren. Sodass ich folgendes habe:

n1x1 + n2x2 + n3x3 = b

Stimmt das soweit?
Frage von shiZZle | am 15.04.2010 - 17:10

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 17:12
ist nicht das einfachste,
was man machen kann, aber es stimmt, ja.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 17:16
Wahrscheinlich kann man auch die (un-)abhängigkeit der Richtungsvektoren zeigen, nur weiß ich nicht mehr ganz, wie das ging ^^

=> Vielleicht möchteste mir das kurz erklären?



MEine nächste Frage ist:

Wir haben zu den zwei Geraden auch zwei Punkte gegeben A(2/1/-4) und B(6/3/-4)

Die zahlen interessieren mich eher weniger, vielmehr der Weg. Nun ist B` der Spiegelpunkt bon B an der Ebene E. Wie bestimmte ich die Koordinaten von B`?

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 17:20
"=> Vielleicht möchteste mir das kurz erklären?"

und ich weiß nicht, wie ihr das gemacht habt, ansonsten ist das genau die idee.

"Wie bestimmte ich die Koordinaten von B`?"

lot von B auf E aufstellen, mit E schneiden, damit hast du den lotfußpunkt, an dem du B punktspiegelst. rest ist einfach.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 17:29
Das mit dem Lot wird für mich etwas schwierig:

Ich habe E in Koordinatenform. Doch was setze ich nochmal in E ein, um den Lotfußpunkt aufzurechnen? Eigentlich immer die Gerade, doch welche Gerade in diesem Fall?

Vielleicht eine neue Gerade, mit dem Sützvektor von E und dem Richtungsvektor als B?

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 17:31
ne, als richtungsvektor des lots kannst du den normalenvektor von E wählen, und als stützvektor den ortsvektor von B.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 17:50
Diese Gerade setze ich doch dann in E ein, ermittle den Parameter, setze diesen wieder in die Gerade ein und habe somit den Lotfußpunkt. Ist dieser auch B`?

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 17:57
ne, der liegt doch auf E drauf (ist die orthogonale projektion von B auf E), wenn du nun B an dem lotfußpunkt spiegelst, erhälst du B`.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 18:04
Mein Problem ist die Spiegelung. Hatten wir zuvor noch nie. Wie spiegele ich nun B am Lotfußpunkt?

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 18:08
sei F lotfußpunkt, dann muss B`F=FB gelten, das ist eine bestimmungsgleichung für B`.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 18:18
Ahhh stimmt ^^....okay find ich cool. Danke, werd jetzt mal versuchen auszurechnen. Danke ^^


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 18:28
So habs jetzt mal ausprobiert und wollte nur mal fragen, ob alles richtig ist:

E: 2x - y + z = 1

B(6/3/-4)

g: x = OB + r * (2|-1|1)

g in E:

2(6+2r) -(3-r) + (-4+r) = 1

r = -2/3

r in g ergibt: F(14/3 | 11/3 | -14/3)


Wenn FB = B`F gilt:

x1 = - (4/3 - 14/3) = 10/3

x2 = - (-2/3 - 11/3) = 13/3

x3 = - (2/3 + 14/3) = -16/3


B`(10/3 | 13/3 | -16/3)

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 18:38
jo, das sieht ganz gut aus.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 18:39
okay ^^....Das werd ich mir dann mal merken. Danke


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 20:17
Also ich muss schon sagen, diese Vektoren Aufgabe macht mir zu schaffen, wobei ich sonst eigentlich kein Problem damit habe.

Nun, also A und B sind gegeben. B` habe ich errechnet. Durch einen weiteren Punkt C wird das Dreieck ABB` zu einem Drachen. Der Schnittpunkt S teilt die Strecke AC im Verhältnis 1:4.

Wie bestimmte ich jetzt den Punkt C?

Ich habe mir überlegt:

AC = 4*AS

Und S = 1/2 BB`

somit:

C - A = 4* A1/2BB` = 4*( 1/2(B`-B) - A)

C = 4*( 1/2(B`-B) - A) + A

Stimmt das?

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 20:21
das teilungsverhältnis bestimmt S doch schon eindeutig.

machst es dir unnötig kompliziert.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 20:58
Ahh ich glaube ich weiß was du meinst:

AC = 4 AS

da S = 1/2BB` ist muss ich ja nur noch 4*S rechnen oder?

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 22:25
ne, was ich meinte ist, dass du S schon bestimmt hast, und C ist dann durch die erste gleichung eindeutig.


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20		 Antwort von shiZZle | 15.04.2010 - 22:31
Ja klar ist das durch die erste Gleichung eindeutig. Das was darunter steht ist doch eigentlich nur die erste Gleichung nach C umgeformt und die Gleichung für S eingesetzt.

 
 Antwort von GAST | 15.04.2010 - 22:33
also wenn du die gleichung richtig nach C umformst kommt sicherlich etwas heraus, was nicht explizit von B, B` abhängt.

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