Stammfunktionen von f gesucht

stammfunktion meinst du sicherlich:


F(x)=-x^4/2+2x²+c<0, substitution, lineaerfaktorzerlegung, ...

weiß nicht, ob man das voraussehen kann, jedenfalls kann man das in einer knappen minute herausfinden.

dann poste doch mal erst, was du raus hast.

seh ich auch so.

-u²/2+2u+c<0 für alle u aus R; und nun multiplizierst du mit -2, ...

naja, normalerweise nicht meine art; aber um die uhrzeit keine lust lange gespräche zu führen.

u²-4u-2c=0 -->u(1/2)=2+-(4+2c)^(1/2) motiviert zu folgendem beweis:
dann, und nur dann, wenn c<-2, ist F<0 für alle x aus R.

ist c<-2, so gibt es kein u(1/2), das die quadr. gleichung löst, also auch keine nullstelle. direkt aus dem ZWS folgt dann, dass entweder F<0 oder F>0 sein muss (für alle x), denn ex. a>0, sodass f(x1)=a für ein x1 aus R und ein b<0, sodass f(x2)=b für ein x2 aus R beispielsweise, so müsste nach dem ZWS alle werte zwischen b und a angenommen werden. wie gezeigt, wird aber 0 nicht angenommen, somit ist die behauptung falsch, dass F<0 für x aus I und F>0 für x aus J (I vereingt J=R) gilt. also muss entweder F>0 für alle x aus R oder F<0 für alle x aus R gelten.
mit den grenzwertsätzen folgt aber sofort, dass lim(x-->unendlich)F(x)=-unendlich (für alle c<-2, ja sogar für alle reellen c), damit muss F<0 für alle x aus R sein.
das war teil 1, teil 2 ganz leicht per widerspruchsbeweis:
sei c>=-2, dann existiert eine nullstelle x=(2+(4+2c)^(1/2))^(1/2), also ex ein x, sodass F>=0, mit anderen worten: F<0 für alle x aus R gilt nicht.
damit ist die äquivalenz gezeigt, und ich bin raus