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Bestimmen der Parabelgleichung

Frage: Bestimmen der Parabelgleichung
(8 Antworten)


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Hallo meine Lieben,

Da ich in letzter Zeit meine Hausaufgaben nicht so fleissig gemacht habe, habe ich den Einstieg in das Thema Parabeln und allgemein Funktionen nicht so gut verstanden.
Daher wäre ich froh, wenn mir jemand in der folgenden Aufgabe schrittweise erklären könnte, wie man auf das Gleichungssystem kommt. Das Auflösen nach den Parametern sollte dann kein Problem sein.

Aufgabe 47) Eine Parabel 4.Ordnung berührt die x-Achse bei x=2 und hat in P(0/-2) einen Sattelpunkt.

Die Lösung, die man erhalten sollte, lautet y= -3/8*x^4 + x^3 -2

Vielen Dank schon im Voraus für eure Hilfe!
Frage von Mirajura | am 12.02.2017 - 21:56

 
Antwort von ANONYM | 13.02.2017 - 12:52
Für den Anfang-Gerüst:

f(x) = ax hoch 4 + cx hoch 2 + e

f 1 Strich (x) = 4ax hoch 3 + 2cx

f 2 Strich (x) = 12 ax hoch 2 + 2c

Jetzt geht es weiter: Definieren "Was bedeutet berühren?" Wichtig für das Einsetzen in die Gleichungen.
P (0/-2) einen Sattelpunkt. Ist der Sattelpunkt ein Extremwert? Wenn ja, wo setzt du die Daten ein.


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Antwort von AdamRiese (ehem. Mitglied) | 15.02.2017 - 10:20
So könnte und müsste die Lösung aussehen:

f (2) = 0
f` (2) = 0
f` (0) = 0
f``(0) = 0
f (0) = -2

Übersetzung des Textes

f (x) = a mal x hoch 4 + b mal x hoch 3 + c mal x hoch 2 + d mal x + e
f` (x) = 4a mal x hoch 3 + 3b mal x hoch 2 + 2c mal x + d
f`` (x) = 12a mal x hoch 2 + 6b mal x + 2x

Ableitungen


16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
32a + 12b + 4c + d = 0
d = 0
2c = 0
e = -2

Gleichungssystem

Ab hier solltest du selber tätig werden und das Gleichungssystem lösen. Nicht einfach - aber auch nicht unmöglich!


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Antwort von Mirajura | 15.02.2017 - 23:31
Guten Abend,

Zuerst einmal viel Dank für eure Antworten!

Heute habe ich mit der Hilfe einem meiner Klassenkameraden ebenfalls einen Ansatz kreiert, allerdings bin ich dann beim Auflösen des Gleichungssystems nicht auf die richtige Lösung gekommen. Wenn ich deinen Ansatz jetzt mit meinem vergleiche, sehe ich auch, dass mir ein kleiner Fehler unterlaufen ist, ich habe fälschlicherweise f``(2)=0 angenommen und daher den Wert 1 für c erhalten, als Folgefehler wiederum die falschen Werte für a und b.

Ich werde das Gleichungssystem noch einmal auflösen und hoffe, dass ich dieses Mal auf das richtige Resultat komme :)

Allerdings noch eine Verständnisfrage, warum kann ich annehmen, dass f``(0) = 0 ist?

Liebe Grüsse


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Antwort von AdamRiese (ehem. Mitglied) | 16.02.2017 - 07:44
Liebe Mirajura,

für die Funktion y = -3/8x hoch 4 + x hoch 3 - 2 oder f(x) = -3/8x hoch 4 + x hoch 3 -2 gilt:
f` (x) = -12/8x hoch 3 + 3x hoch 2 und für f`` (x) = -36/8x hoch 2 + 6x.

Setzt du für f``(0) ein, wird f``(0) = 0. Hier: f``(0) = -36/8 mal 0 hoch 2 + 6 mal 0. Nach Adam Ries ergibt dies 0.

Ich hoffe, ich konnte deine Verständnisfrage angemessen erklären. Mit Sicherheit kannst du jetzt das Ergebnis interpretieren.

Carpe diem!


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Antwort von Mirajura | 16.02.2017 - 19:21
Lieber AdamRiese,

Mir ist klar, dass ich nachdem ich auf die richtige Gleichung gekommen bin, jedes beliebige x in die Funktion und deren Ableitungen einfügen und das zugehörige y berechnen kann.
Meine Frage war eher, wie man anhand der Aufgabenstellung darauf kommt, dass man f``(0)= 0 annehmen kann (und so dann zum Resultat kommt).

Welcher Teil der Aufgabenstellung weist darauf hin?

Liebe Grüsse
Mirajura


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Antwort von AdamRiese (ehem. Mitglied) | 17.02.2017 - 12:14
Liebe Mirajura,

die Funktion f(x) = -3/8 x hoch 4 + x hoch 3 - 2 ist eine Parabel, die nach unten geöffnet ist und bei x = 2 die x-Achse berührt. (Nullstelle) Sattelpunkt bei P(0/2).

Ein Sattelpunkt ist nichts anderes, als ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Nimm jetzt die hinreichende Bedingung für den Sattelpunkt in Angriff:

f` (0) = 0

f`` (0) = 0

f```(0) = 0

Den x-Wert aus der Gleichung f`` = -9/2x hoch 2 + 6x setzt du in f``` = -9x + 6 ein. Wenn dein eingesetzter x-Wert ungleich 0 ergibt, kannst du davon ausgehen, dass ein Sattelpunkt existiert.

Jetzt nimmst du dir den angesprochenen x-Wert zur Hand, setzt ihn in die Ausgangsfunktion ein und erhältst den y-Wert.

Konnte ich dir helfen?

Mit lieben Gruß

AdamRiese



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Antwort von Mirajura | 17.02.2017 - 16:34
Super, vielen Dank!
Deine Erklärungen haben mir sehr geholfen und ich hoffe, dass ich in Zukunft dazu in der Lage bin, auch ähnliche Aufgabenstellungen zu bearbeiten.

Liebe Grüsse
Mirajura


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Antwort von AdamRiese (ehem. Mitglied) | 17.02.2017 - 17:21
Liebe Mirajura,

es war mir eine Freude, dir zu helfen.

Mit lieben Gruß

AdamRiese

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