Kurvendiskussion - Fragen

Zitat:
3) Wie errechne ich die Definitionsmenge und wofür brauch ich die?

bei wurzelausdrücken radikand größer gleich 0 setzen.
bei gebrochenrationalen funktionen nenner gleich 0 setzen. das liefert die definitionslücken. R ohne definitionslücken ist dann der defintionsbereich
bei logarithmusfunktionen [ln(f(x))] f(x) >0 setzen.

brauchst du bei der kurvendiskussion. def-bereich gibt an, welche x-werte du in die funktion einsetzen kannst.

(genauer genommen sollte man hier von maximal möglicher definitionsmenge sprechen. Man kann funktion auch auf teilmengen dieser maximal möglichen definitionsmenge definieren. Man nennt die so entstandene funktion eine einschränkung der ursprünglichen funktion)

4) Wie bestimme ich die Symmetrie und was ist das?

Symmetrie ist allgemein eine eigenschaft von Objekten
satz: 1.eine funktion f: R-->R heißt achsensymmetrisch zur geraden x=x0, wenn für alle h aus R gilt: f(x-h)=f(x0+h). (d.h. wenn der graph von f durch spiegelung an x=x0 in sich übergeführt wird) sonderfall: achsensymmetrisch zur y-achse: x0=0-->f(h)=f(-h)
2.eine funktion g: R-->R heißt punktsymmetrisch zu (x0|y0), wenn für alle e aus R gilt: f(x0-e)-y0=y0-f(x0+e) (d.h. wenn der der graph der funktion durch punktspiegelung am urpsrung in sich übergeführt wird)
sonderfall: punktsymmetrisch zum ursprung: x0=0 und y0=0-->
f(-e)=-f(e)


5) Wie errechne ich Polstellen und senkrechte Asymptoten?


Folgt unmittelbar aus Definition:
Nenner gleich null setzen. falls zähler ungleich 0 (bei dem selben x-wert) ist, hast du eine polstelle. x=x0 ist dann die senkrechte asymptote bzw polgerade

6) Wie bestimme ich das Verhalten der Funktion für x-> +/- unendlich?

Vorweg: ist lim(x-->unendlich)f(x)=a mit aus R, so heißt a (eigentlicher) Grenzwert von f.
y=a ist dann waagerechte Asymptote von f.

ich will dir mal so viele für die schule relevanten fälle wie möglich aufzählen:
zunächst aber einmal eine definition: ist f(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+a(n-1)x^(n-2)+...+a0 (man spricht dann u.U. von einem polynom), so heißen a1,a2,a3,...an aus R koeffizienten und an heißt leitkoeffizient

1.polynome: fallunterscheidung: leitkeoffizient positiv:

f(x) geht gegen unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen -unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) geht b)gegen +unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f gerade ist.

leitkoeffizient negativ:

f(x) geht gegen -unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) geht b)gegen -unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f gerade ist.

2. funktionen der form z(x)/n(x)=f(x) [gebrochenrationale funktionen]

ist grad(z(x))<grad(n(x)), so konvergiert die funktion gegen 0 für x-->+-unendlich.

ist der grad von z(x) höher als der grad von n(x), so geht f(x) gegen +unendlich bzw -unendlich für x-->+-unendlich. um zu schauen obs gegen + oder -unendlich geht musst du die in 1. genannten regeln für polynome anschauen. du betrachtest dabei nur z(x). n(x) ist dafür unwichtig.
Es lässt sich mittels Polynomdivision die Funktion z(x)/n(x) in einen ganzrationalen Teil g(x) und einen echt gebrochenrationalen teil h(x)=a(x)/b(x) mit grad(a)<Grad(b) bringen, also z(x)/n(x)=g(x)+a(x)/b(x), da a(x)/b(x) wegen grad(a)<grad(b) für x-->unendlich gegen 0 konvergiert ist g(x) die Asymptotenfunktion von f(x)=z(x)/n(x).
wenn grad(g(x))=1, also g(x) die form mx+b hat, so spricht man von einer linearen Asymptote.
Ist g(x) eine quadratische Funktion, also grad(g)=2, so ist g eine quadratische asymptote, der graph eine asymptotenparabel. Natürlich kann auch grad(g)>2 gelten, aber auf diese fälle, wirst du kaum treffen.
Ist grad(g(x))=0, also z(x)/n(x)=c+h(x), wobei c irgendeine reelle zahl sein soll, so ist y=c waagerechte asymptote.
Dies kann man mit Folgenden Merksatz bestimmen:

Merke: ist grad(z(x))=grad(n(x)), dann gilt f(x)=a/b für x-->+-unendlich.

a ist der leitkoeffizient von dem polynom z.
b ist der leitkeoffizient von dem polynom n.
a/b ist das vorher genannte c.
3.exponentialfunktionen:

die exponentialfunktion f(x)=e^x geht gegen unendlich für x-->+unendlich und gegen 0 für x-->-unendlich

4.logarithmusfunktionen:

die natürliche logarithmusfunktion f: x-->ln(x) mit der definitionsmenge D(f)=R+ geht gegen +unendlich für x-->+unendlich (allerdings extrem langsam) und gegen -unendlich für x-->0, also ist senkrechte Aymptote x=0.
Der Graph der Funktion f nähert sich wegen D(f)=R+ nur von rechts an.

5.gemischte funktionen (aus exp-ln und polynomen).

hier gibts keine allgemeine regel, allerdings musst du folgendes beachten:

die epxonentialfunktion konvergiert am schnellsten. die logarithmusfunktion am langsamsten. das polynom ist in der mitte.
d.h. wenn du sowas hier hast: f(x)=e^(-x)+x, weißt du zwar, dass x gegen unendlich geht (für x-->unendlich), aber e^(-x) geht gegen 0 (nach regel 3.). und nach regel 5. ist e^(-x) der stärkere, also geht die ganze funktion gegen 0, und nicht gegen unendlich (für x-->unendlich)

6.ansonsten gibts noch 2 regeln, die sehr wichtig allgemein und vor allem auch für wurzelfunktionen (und gebrochenrationale funktionen sind):

a)
grenzwertsätze:hat g(x) den grenzwert a und h(x) den grenzwert b so hat g(x)+h(x) den grenzwert a+b.
g(x)-h(x) den grenzwert a-b
g(x)*h(x) den grenzwert a*b
g(x)/h(x) den grenzwert a/b, falls b ungleich 0.
alles für x-->|unendlich|

beispiel dazu: f(x)=g(x)*h(x)=(x^2+2)/(2x^2+1)*(4x^3+7)/(3x^3+2x^2)

du weißt nach regel 2 hat g(x) den grenzwert 1/2 und und h(x) den grenzwert 4/3. also ist der grenzwert von f(x):
g=1/2*4/3=4/6=2/3

b)krankenhausregel:

ist f diffbar und lim(x-->unendlich)z(x)=0 und lim(x-->unendlich)n(x)=0, so gilt lim(x-->unendlich) z(x)/lim(x-->unendlich) n(x)=lim(x-->unendlich) z`(x)/lim(x-->unendlich) n`(x).

gleiche regel gilt, wenn lim(x-->unendlich)z(x)=unendich und lim(x-->unendlich)n(x)=unendlich. man nennt solch einen ausdruck unbestimmter ausdruck.
Der Grund hierfür ist, dass unendlich/unendlich oder auch 0/0 alles mögliche sein kann.
z.b. ist x/x für x-->unendlich 1. hier ist also unendlich/unendlich=1.
Aber x/x² für x-->unendlich ist 0 (nach regel 2, gebrochenrationale funktionen)
Das nur zwei Beispiele

beispiel zur Anwendung der Krankenhausregel:

e^(x)/x. für x-->unendlich gehen e^x und x (zähler und nenner) gegen unendlich. somit ist die regel anwendbar uns [e^x]`/[x]`=e^x/1=e^x hat denselben `grenzwert`

nämlich gar keinen. die funktion geht gegen unendlich für x-->unendlich. (dies hätte man auch mit regel 5 lösen können, e^x konvergiert schneller als x gegen unendlich, somit kanns keinen grenzwert geben)