Stetigkeits - und Unstetigkeitsstellen

so etwas wie "sehr dicht" gibt es nicht, entweder liegt Q dicht in R oder eben nicht.

"Alle x aus Q sind stetig"

die punkte sind stetig oder was willst du damit sagen?


vielleicht habt ihr schon den begriff der folgenstetigkeit gehabt, der im topologischen raum R völlig äquivalenz zur epsilon-delta def der stetigkeit ist.

um die nicht stetigkeit von f auf R ohne {0} zu zeigen, nimmst du dir eine beliebige folge rationaler (dann irrationaler) zahlen , die gegen ein a<>0 konvergiert, gegen was konvergieren dann die bildfolgen?

falls du die epsilon-delta def. benutzen möchtest, verwendest du die dichtheit von Q in R; in einer offenen umgebung eines punktes a aus R liegen demnach sowohl irrationale als auch rationale zahlen.
dann musst du schauen, wie die bildumgebung aussieht.

"so dass lim f(bn) = 0=!f(x0)"

x0 kann selber irrational sein.

"x0 habe ich doch vorher definiert."

stimmt, habe ich wohl überlesen.

damit hast du aber nur die unstetigkeit von f in allen rationalen zahlen ungleich 0 gezeigt (wobei man noch begründen sollte, wieso es so eine folge (b(n)) überhaupt gibt), was sonst ist, weiß man nicht.

wie gesagt hast du nur die hälfte (oder nicht einmal die hälfte) gemacht ...

Kann es sein, dass x an allen Stellen mit x aus R/Q stetig ist?

Habs jetzt mal anders gemacht:

e-d -Definition:

|x-x0|<d => |f(x)-f(x0)|<e

Für ein x Element aus Q => ausgrund der Dichtheit x0 aus R/Q

|x-x0| = |f(x)-f(x0)| und aus Vorrauss => |f(x)-0| = |f(x)| = |x| und das ist definitiv nicht kleiner als e,d => Unstetig


Betrachten von x = 0 folgt analog: |f(x)-f(x0)| = |0-0| = 0 und das ist kleiner e => stetig im Punkt 0

Werde mich heute Abend wieder an diese Aufgabe setzen.