Monotonie und Extremstellen bei Funktionen

f` und f`` zeichnest du genauso wie deine Ausgangsfunktion f:
Wertetabelle oder skizzenartig durch markante Stellen wie Nullstellen,
Y-Achsenabschnitt oder Extremstellen

Die Ableitung hat eine Nullstelle da, wo die Ausgangsfunktion eine Extremstelle hat.
--> Für die Extrema musst du f`(x) gleich Null setzen und nach x auflösen.
Für die hinreichende Bedingung musst du diese Extremstelle dann in f`` einsetzen.
Ist das dann negativ, dann ist es ein Hochpunkt und ist es positiv, dann ist es ein Tiefpunkt.

Monotonieverhalten ändert sich ab jeder Extremstelle. Links von einem Tiefpunkt ist f monoton fallend, rechts davon monoton steigend.
Bei einem Hochpunkt ist es andersrum.
Verdeutliche dir das am besten an einer Zeichnung.



[Quelle: http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/grafiken/monotonie.gif]

schau Dir mal dieses Beispiel an, dann verstehst Du sehr schnell, wie die Zusammenhänge sind:


Quelle: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/234013,0.html

Du untersuchst die Monotonie anhand der ersten Ableitung. Wenn die Ableitungswerte einer Funktion in einem bestimmten Intervall größer als 0 ist, dann sagt man: Diese Funktion ist im Intervall [a;b] monoton steigend. Wenn f`(x)<0 ist, dann ist f in dem entsprechenden Intervall monoton fallend.

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: f`(x)=0

das heißt: die nullstellen der ableitungsfunktion sind die möglichen extremstellen.

hinreichende bedingung für extremstelle:

Vorzeichenwechselkriterium

wenn du sieht, dass die Ableitungsfunktion an der möglichen kritischen Stelle VZ wechselt, dann ist die Stelle genau eine Extremstelle. Also gilt:

f`(x+h) und f`(x-h) haben verschiedene VZ. (h>0, ganz kleine zahl)