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Extremwertproblem: Rotierendes Dreieck /Doppelkegel

Frage: Extremwertproblem: Rotierendes Dreieck /Doppelkegel
(8 Antworten)


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hallo =)

wir hatten heute in meinem Mathekurs ein kleines Problemchen..
Die Aufgabe lautete:

"Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse 6 cm erzeugt bei Rotation um die Hypothenuse den Rotationskörper größten Volumens?"

Unser Ansatz war eben, dass wir das Volumen eines Doppelzylinders berechnen sollen, etc.

Gerechnet haben wir, alles schön und gut..
zum Schluss kamen wir auf

V(r)=2*pi*r^2,

was auch richtig ist (Lösungsbuch :P)
Die Ableitung davon ist ja dann

V`(r)=4*pi*r

dann muss man ja

V`(r)=0 setzen, aber das ergibt 0, also keine Extremstelle und daher keine Lösung... im Lösungsbuch stand r=3, aber leider kein Lösungsweg...
das ist unser Problem gewesen.. jemand einen Lösungsvorschlag?
Frage von 0nlyThe0ne (ehem. Mitglied) | am 30.11.2010 - 23:13


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13		 Antwort von Dominik04 (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:21
Zitat:
V(r)=2*pi*r^2

kann nicht richtig sein,
das müsstest du schon sehen, wenn du die Einheiten betrachtest.

wenn ein dreeick um die hypothenuse rotiert, entsteht kein zylinder, sondern ein doppel-kegel.


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13		 Antwort von 0nlyThe0ne (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:24
ach das meint ich doch :D
die dinger sehen sich sowieso ähnlich.. nene das ist schon richtig mit dem 2*pi*r^2... steht ja auch so im buch und das war auch mein erstes ergebnis ! :)


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13		 Antwort von Blake (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:28
Guck dir diesen Link an, die letzte Antwort. Eine Alternative zu deiner "Lösung".

http://matheraum.de/forum/Komplexe_Extremwertprobleme/t111747


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13		 Antwort von Dominik04 (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:30
2*pi*r² wird im Leben kein Volumen geben.
bei r in cm, ergibt sich hier ein wert in cm², und das ist eine fläche ;)

kegelvolumen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_%28Geometrie%29#Volumen

wobei h hier ein teil deiner hypothenuse ist.


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13		 Antwort von 0nlyThe0ne (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:30
ich schreibs am besten mal ausführlich hin..

V1(r;h1)=1/3*pi*r^2*h1
V2(r;h1)=1/3*pi*r^2*(6-h1)
V2(r;h1)=2*pi*r^2-1/3*pi*r^2*h1

V=V1+V2

V(r,h)=1/3*pi*r^2*h+2*pi*r^2-1/3*pi*r^2*h
V(r)=2*pi*r^2


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13		 Antwort von Dominik04 (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:39
okay, ich sehe, dass die fehlende einheit [cm] hier nun in der 2 steckt.
ich denke mal fix drüber nach... :P


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13		 Antwort von 0nlyThe0ne (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:51
vielen lieben Dank! :)


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13		 Antwort von Dominik04 (ehem. Mitglied) | 30.11.2010 - 23:59
der Link von Blake sollte dir weiterhelfen. (letzter Beitrag, recht weit am Ende)

Denn das Rotationvolumen wird (logischerweise) maximal wenn die Fläche, die rotiert, maximal ist.
Das heißt, du musst eigentlich nur die Dreiecksfläche maximieren. Das sollte einfach sein. (Lösung: gleichschenkliges Dreieck).

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