Abstand eines Punktes von einer Ebene-hessesche normalenform

Frage: Abstand eines Punktes von einer Ebene-hessesche normalenform
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Hallo ich schreibe morgen eine matheklausur und habe folgende Frage:

Gegeben sind die Punkte A(20/0/8) B(12/12/0) C(0/12/6)
Es geht um eine Werkstatthalle mit einem Pultdach. Die Abluft wird durch ein lotrechtes Edelstahlrohr aus der Halle geführt, sein Endpunkt iat R(10/10/8).

Berechnen Sie die Länge des Edelstahlrohres, das übder die Dachfläche hinausragt!

-So, ich weiß, dass man den Schnittpunkt berechnen soll. Dafür braucht man eine Gleichung g die man in die Ebenengleichung einsetzen muss.
Nur weiß ich nicht wie die Gleichung aussehen soll.
entw. vektor p + t* (vektor u)= 0 -was ist dann hier u?(AB?)
o. vektor p + t* (vektot n) = 0
- aber beides klappt bei mir nicht.
Bitte um hilfe, danke!
Frage von Persian_beauty | am 25.10.2010 - 13:13

 

 
Antwort von GAST | 25.10.2010 - 15:16
1) du solltest die "richtige aufgabe" stellen.
2) falls das rohr auf der ebene, die durch A,B,C definiert ist, beginnen und bei R enden soll, möglichst kurz ist und außerdem durch eine gerade modelliert wird, dann ist dein u bzw. n ein vektor, der skalar mit AB bzw. AC multipliziert 0 ergibt.
dann hast du die gerade (=0 ist unsinn) und kannst sie in die ebene einsetzen, was du wohl vorhattest.

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Antwort von Persian_beauty | 25.10.2010 - 15:41
Hier die komplette Aufg. aus meinem Mathebuch:
Fig.1 zeigt eine Werkstatthalle mit einem Pultdach. Die Koordinaten der angegebenen Ecken entsprechen ihren Abständen in m.
Die Abluft wird durch ein lotrechtes Edelstahlrohr aus der Halle geführt, sein Endpunkt iat R(10/10/8).
Gegeben sind die Punkte A(20/0/8) B(20/12/0) C(0/12/6)

a) Berechnen Sie den Abstand des Luftauslasses von der Dachfläche. Ist der Sicherheitsabstand von 1,50 m eingehalten?
b) Berechnen Sie auch die Länge des Edelstahlrohres, das über die Dachfläche hinausragt.

Meine Fragen beziehen sich auf den Aufgabenteil b)!

Ist dies hier dann richtig für die Gerade?

-> g: 0A + t * (AB)
(20/0/8)+ t * (0/12/-8) ?

dann folgt:
(x) (20+0 )
(y) = ( 0+12t)
(z) ( 8-8t ) und das muss man in die Ebenengleichung.

E: (3/10)x + (2/3)y + z= 0 einsetzen?
(u.a. wird danach t berechnet und in die oben genannte Gerade eingesetzt...)

 
Antwort von GAST | 25.10.2010 - 15:44
wenn man jetzt noch wüsste, wie Fig.1 aussieht ...

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Antwort von Persian_beauty | 25.10.2010 - 15:51
das ist hier die Aufgabe 4
http://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/7be7b620e42370b0a07b7e6ce8f6aeaa.JPG

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Antwort von Persian_beauty | 25.10.2010 - 16:00
.. meinst du, dass das obenstehende jetzt (auch) richtig ist?
oder ist u = (0/0/1) ?

 
Antwort von GAST | 25.10.2010 - 16:09
ja, genau. u=e(z), und a) ist dann, so wie ich es vorher beschrieben habe (nur, dass ein punkt nach oben verschoben werden muss)

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Antwort von Persian_beauty | 25.10.2010 - 16:19
moment mal, a) wieso wird ein punkt nach oben verschoben?
da rechne ich doch:
AB* n=0
AC* n=0 (matrix) - n ist dann ( (3/10) / (2/3) / 1)
dann wird A in E eingesetzt und danach die Hessesche Normalform angewendet (...) es ergibt sich Abstand d= 2,96

warum genau ist eigentlich u = (0/0/1) und was meinst du mit u= e(z)?

entschuldige für die vielen fragen

 
Antwort von GAST | 25.10.2010 - 16:27
"wieso wird ein punkt nach oben verschoben?"

weil ebene nicht durch die 3 geg. punkte festgelegt wird, sondern durch geg. 2 punkte + geg. punkt um 6 richtung x3 verschoben.

"warum genau ist eigentlich u = (0/0/1)"
weil das rohr wohl senkrecht nach oben (entspricht pos. x3 richtung) steht.

"was meinst du mit u= e(z)?"
vermutlich dasselbe, nur etwas genauer.

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Antwort von Persian_beauty | 25.10.2010 - 16:31
ok aber was genau soll ich bei meinen rechnungen ändern?

 
Antwort von GAST | 25.10.2010 - 16:33
verschiebe den geg. punkt in der x1-x2-ebene um 6 nach oben, rest wie gehabt.

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